\subsection{三角函数}\label{subsec:15-1}
\begin{enhancedline}

修建扬水站时，沿着与水平面成 $\alpha$ 角的斜坡铺设水管。
如图 \ref{fig:15-1}，当水管从坡底 $O$ 处向上铺设到 $P$ 处，$P$ 离水平面的高为 $MP$，
继续向上铺设到 $P'$ 处，$P'$ 离水平面的高为 $M'P'$，铺设的水管越长，管口离水平面也越高。
容易看出，$\triangle OPM \xiangsi \triangle OP'M'$，因此 $\dfrac{MP}{OP} = \dfrac{M'P'}{OP'}$。
这就是说，当角 $\alpha$ 的大小一定时，管口离水平面的高与管长的比是一个定值。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-1}
    \caption{}\label{fig:15-1}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-2}
    \caption{}\label{fig:15-2}
    \end{minipage}
\end{figure}

想一想：当角 $\alpha$ 是 $30^\circ$ 时，上面所说的比值是多少。

上面的实例启发我们进一步研究与角有关的一些比。

设有一个角 $\alpha$，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 $x$ 轴的正半轴 $Ox$，建立直角坐标系（图 \ref{fig:15-2}）。
在角 $\alpha$ 的终边上任取一点 $P(x,\; y)$，它和原点 $O(0,\; 0)$ 的距离是
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ （$r$ 总是正的）。可以得到比值
$$ \dfrac{y}{r}\nsep  \dfrac{x}{r}\nsep \dfrac{y}{x}\nsep \dfrac{x}{y} \juhao $$
设 $P'(x',\; y')$ 是角 $\alpha$ 的终边上另一点，$P'$ 到 $O$ 的距离为
$r' = \sqrt{x'^{\,2} + y'^{\,2}}$。又可以得到比值
$$ \dfrac{y'}{r'}\nsep  \dfrac{x'}{r'}\nsep \dfrac{y'}{x'}\nsep \dfrac{x'}{y'} \juhao $$

过 $P$ 和 $P'$ 分别画 $x$ 轴的垂线 $MP$ 和 $M'P'$, 那么 $\triangle OPM \xiangsi \triangle OP'M'$，
且 $x$ 和 $x'$、$y$ 和 $y'$ 的符号相同，所以
$$ \dfrac{y}{r} = \dfrac{y'}{r'} \nsep \dfrac{x}{r} = \dfrac{x'}{r'} \nsep \dfrac{y}{x} = \dfrac{y'}{x'} \nsep \dfrac{x}{y} = \dfrac{x'}{y'} \juhao $$
由此可知，对于确定的角 $\alpha$，这四个比值都是由角 $\alpha$ 的大小唯一确定的，
与点 $P$ 在角 $\alpha$ 的终边上的位置无关，
所以这四个比值都是自变量 $\alpha$ 的函数．我们把

$\dfrac{y}{r}$ 叫做角 $\alpha$ 的\zhongdian{正弦}，记作 $\sin\alpha$， 即 $\sin\alpha = \dfrac{y}{r}$；

$\dfrac{x}{r}$ 叫做角 $\alpha$ 的\zhongdian{余弦}，记作 $\cos\alpha$， 即 $\cos\alpha = \dfrac{x}{r}$；

$\dfrac{y}{x}$ 叫做角 $\alpha$ 的\zhongdian{正切}，记作 $\tan\alpha$， 即 $\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$；\footnote{
    录注：原书中 $\tan\alpha$ 写作 $\text{tg}\,\alpha$，$\cot\alpha$ 写作 $\text{ctg}\,\alpha$。录入过程中，统一按 $\tan\alpha$、$\cot\alpha$ 的形式录入。
}

$\dfrac{x}{y}$ 叫做角 $\alpha$ 的\zhongdian{余切}，记作 $\cot\alpha$，\footnotemark 即 $\cot\alpha = \dfrac{x}{y}$；
\footnotetext{“$\text{tg}\,\alpha$” 也可以记作“$\tan\alpha$”，“$\text{ctg}\,\alpha$” 也可以记作“$\cot\alpha$”。}


角 $\alpha$ 的正弦 $\sin\alpha$，角 $\alpha$ 的余弦 $\cos\alpha$，
角 $\alpha$ 的正切 $\tan\alpha$，角 $\alpha$ 的余切 $\cot\alpha$
都叫做角 $\alpha$ 的\zhongdian{三角函数}。

\zhuyi “$\sin\alpha$” 是一个完整的符号，它表示角 $\alpha$ 的正弦，不能理解成 $\sin \cdot \alpha$。
其他三角函数的符号也是这样。


\liti 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(3,\; 4)$， 求角 $\alpha$ 的四个三角函数值（图 \ref{fig:15-3}）。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-3}
    \caption{}\label{fig:15-3}
\end{wrapfigure}


\jie $\because \quad x = 3\nsep y = 4$，

$\therefore$ \quad $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

$\therefore$ \quad \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt, mode=math}, rows={rowsep=0.5em}}
    \sin\alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{4}{5} \douhao \\
    \cos\alpha = \dfrac{x}{r} = \dfrac{3}{5} \douhao \\
    \tan\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{3} \douhao \\
    \cot\alpha = \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4} \juhao \\
\end{tblr}


\liti 求证：
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$；} \quad
    \xxt{$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$。}\footnote{$\sin^2\alpha$ 表示 $(\sin\alpha)^2$，其他三角函数的幂也这样表示。}

\resetxxt
\zhengming \xxt{根据三角函数的定义，}
$$ \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\phantom{.}\dfrac{y}{r}\phantom{.}}{\dfrac{x}{r}} = \dfrac{y}{x} = \tan\alpha \douhao $$

\fenge{即}{\centering $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$；}

\xxt{$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\dfrac{y}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{x}{r}\right)^2 = \dfrac{y^2 + x^2}{r^2}$，}

\fengeYinwei{y^2 + x^2 = r^2 \douhao }

\fengeSuoyi{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{r^2}{r^2} = 1 \juhao}

\end{xiaoxiaotis}


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）$\sin\beta$ 是角 $\beta$ 的哪种三角数，表示怎样的比？$\tan\beta$ 呢？ $\cos\beta$ 呢？$\cot\beta$ 呢？}

\xiaoti{已知角 $\alpha$ 的终边分别经过下列各点，求角 $\alpha$ 的四个三角函数值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={9em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(4,\; 3)$；} & \xxt{$(5,\; 12)$；} & \xxt{$(2,\; 2)$；} & \xxt{$(2,\; 3)$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

\end{enhancedline}
